Aqui encontraras algunos temas que te pueden ayudar

Tema #1

Productor Notable

Los productos notables son operaciones algebraicas, donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas reglas se pueden encontrar los resultados de las mismas

Entonces, los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las características que hacen que un producto sea notable, es que se cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso.

Los productos notables están íntimamente relacionados con fórmulas de factorización, por lo que su aprendizaje facilita y sistematiza la solución de diversas multiplicaciones, permitiendo simplificar expresiones algebraicas complejas.

Los productos notables que se estudiarán son:

·        Binomio al cuadrado o cuadrado perfecto

·        Binomio conjugado

  Las expresiones algebraicas reciben nombres especiales dependiendo del número de términos que las compongan: cuando solo poseen un término se les llama monomios, por ejemplo:

x$x$, −y$-y$, x2$x^2$, 5x2y3$5x^2{y}^3$, −1/2x$-1/2x$, etc; cuando poseen dos términos se les llama binomios, por ejemplo: x+y$x+y$, (2x−3y)2$(2x-3y{)}^2$, x2+y2$x^2+y^2$, 1/2x−2/3x2$1/2x-2/3x^2$; cuando poseen tres términos se les llama trinomios, por ejemplo: x+y+z$x+y+z$, −x2+x3−x4$-x^2+x^3-x^4$, (3x+2y+10xy)4$(3x+2y+10xy{)}^4$. Éstos son los nombres más comunes. A las expresiones algebraicas con cuatro términos se les puede llamar cuatrinomios, pero en general cuando una expresión tiene más de tres términos se le suele llamar polinomio.

Binomio al cuadrado

Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia, donde los términos son sumados o restados:

a. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente manera:

  (a + b)2 = (a + b) * (a + b).

En la figura siguiente se puede observar cómo se desarrolla el producto según la regla mencionada. El resultado es llamado de trinomio de un cuadrado perfecto.

 Ejemplo 1

Eliminamos el exponente y rescribimos al binomio de la siguiente manera:

  

Expandimos y multiplicamos para eliminar los paréntesis:

  

b. Binomio de una resta al cuadrado: se aplica la misma regla del binomio de una suma, solo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente:

ejemplo 2

Encontramos el cuadrado del primer término, el doble del producto de ambos términos y el cuadrado del último término para usar la fórmula estándar:

 =  

Producto de dos binomios con un término común

Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen un término en común. La regla indica lo siguiente:

• El cuadrado del término común.
• Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.
• Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.

Se representa en la fórmula: (x + a) * (x + b) y es desarrollada como se muestra en la imagen. El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto.

ejemplo 3

                        (x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)

                              =(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54

Existe la posibilidad de que el segundo término (el término diferente) sea negativo y su fórmula es la siguiente: (x + a) * (x – b)

ejemplo 4

        (7x + 4) * (7x – 2) = (7x * 7x) + (4 – 2)* 7x + (4 * -2)

                     =(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + (2)* 7x – 8

                     =(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + 14x – 8

Tema#2

Monomios

Un monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente natural.

Suma y resta de monomios La suma o resta de dos o más monomios sólo se puede realizar si los monomios son semejantes, es decir, si tienen la misma parte literal.

La suma de dos o más monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes.

La resta de dos monomios semejantes es otro monomio semejante cuyo coeficiente es la diferencia de los coeficientes.

                                                    Partes de un monomio

Coeficiente 

El coeficiente del monomio es el número que aparece multiplicando a las variables.

Parte literal

La parte literal está constituida por las letras y sus exponentes.

Grado 

El grado de un monomio es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.

 

El grado de 2x² y³ z es: 2 + 3 + 1 = 6

 Monomios semejantes

Dos monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal.

                                     2x² y³ z es semejante a 5x² y³ z

 Suma y resta  de monomios 

Dos o más monomios solo se pueden sumar o restar si son monomios semejantes, es decir, si ambos monomios tienen una parte literal idéntica (mismas letras y mismos exponentes). 

Entonces, la suma (o resta) de dos monomios semejantes es igual a otro monomio compuesto por la misma parte literal y la suma (o resta) de los coeficientes de esos dos monomios

Ejemplo#1

Producto de un numero por un monomios

Para resolver el producto de un monomio por un número simplemente se debe multiplicar el coeficiente del monomio por dicho número, quedando la parte literal del monomio igual.

Ejemplo#2

               5 · (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z

División de monomios 

Sólo se pueden dividir monomios con la misma parte literal y con el grado del dividendo mayor o igual que el grado de la variable correspondiente del divisor.

La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las potencias que tenga la misma base, es decir, restando los exponentes.

axn : bxm = (a : b)xn − m

                     

                                       

Si el grado del divisor es mayor, obtenemos una fracción algebraica.

                                                    

Potencia de un monomio

En matemáticas, para calcular la potencia de un monomio se eleva cada elemento del monomio al exponente de la potencia. Es decir, la potencia de un monomio consiste en elevar su coeficiente y sus variables (letras) al exponente de la potencia.

(axn)m = am · xn · m

Tema#3

Logaritmo

El logaritmo es sólo otra forma de expresar la potenciación de un número, pero en este caso lo que se busca es el exponente de la base. Muchos autores definen a los logaritmos como la función inversa de la potenciación, pero eso no es del todo cierto, pues existen ciertas restricciones que no la hacen válidas para todas las bases. 

Sin embargo, para las bases que si está permitido si se puede ver como una forma de función inversa. Por ejemplo:

                                                          5³ = 125 

Se escribe en forma logarítmica como:

                                                          log5 125 = 3  

Y se lee como “logaritmo en base 5 de 125 es igual a 3”. 

De manera general y formalmente, los nombres de cada uno de los miembros en ambas operaciones son los siguientes:

 

Las restricciones son que la base  el número  del logaritmo deben ser mayores a cero, pues en caso contrario se puede caer en contradicción operativas.

A partir de las propiedades de las potencias, se deducen diversas propiedades interesantes de los logaritmos en cualquier base. estas propiedades se resumen en la siguiente tabla.

Ejemplo#1

Un mismo número tiene logaritmos diferentes según la base elegida. Ahora bien, basta conocer el logaritmo de un número en una base para determinar su valor en cualquier otra base, a partir de la siguiente propiedad de cambio de base:

Los logaritmos de base 10 se conocen como logaritmos comunes o logaritmos de Briggs, Éste es el sistema de logaritmos que se utiliza, principalmente, para realizar operaciones aritméticas. En este tipo de logaritmos los números como 10, 100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001, etcétera, es decir las potencias de diez, tienen como logaritmos a números enteros, y cualquier otro número tiene como logaritmo a un número entero más una fracción. El logaritmo común de x se denota como log x .

Ejemplo#2

Otro sistema de logaritmos, muy importante por su uso, es el de los logaritmos naturales, o logaritmos neperianos, que tiene como base el número irracional e = 2.71828.... ; el logaritmo natural de x se representa por ln x. Como es de esperarse, en este tipo de logaritmos los números que tienen logaritmos enteros son las potencias de e.

Ejemplo#3

Los logaritmos naturales se generaron para el estudio de cuestiones teóricas en el cálculo diferencial e integral, y para la descripción de fenómenos naturales, por ejemplo, para determinar la longitud de la trayectoria de un proyectil; la cantidad de trabajo hecho por un gas que se expande; el tiempo que 3. 9 requiere un objeto caliente para enfriarse a una temperatura dada; el tiempo necesario para que una colonia de bacterias crezca a un tamaño dado, entre otras muchas.

Leyes de las operaciones con logaritmo

Ley del producto

        

       En cualquier sistema de logaritmo, para los números positivos x, y se cumplen que 

          

Ley del cociente

         

        En cualquier sistema de logaritmo para los números pósitivos x, y se cumplen que 

Ley de la potencia

        En cualquier sistema de logaritmo, para el números positivos x, y para cualquier número n, se                cumple que 

Tema#4

      Sistemas de ecuaciones 

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones que involucran las mismas variables. Si todas las ecuaciones del sistema son lineales, entonces se denomina sistema de ecuaciones lineales, por ejemplo:

                                            {2x+ y =1− 3 x+4y =14

Una solución de un sistema de ecuaciones es el conjunto de valores para las variables que hacen que cada ecuación en el sistema sea cierta. Resolver un sistema de ecuaciones consiste en encontrar todas las soluciones del sistema.

En el ejemplo anterior, la solución del sistema es x= -2 y y=5. Esta solución se puede escribir también como un par ordenado (-2, 5). Más adelante, en las siguientes lecciones, aprenderemos las técnicas para encontrar estas soluciones.

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Se desea determinar el valor de dos números reales x e y , que verifican la siguiente condición: “el doble del número x , más el número y , es igual a 7 ”. 

La condición requerida establece que: 

                                                                         2x + y = 7 

Se ha planteado una ecuación lineal con dos incógnitas. Como ya se vio anteriormente el conjunto solución S1 de esta ecuación está formado por infinitos pares ordenados ( , yx ) que la verifican.

 Simbólicamente: S1 = {(x; y)/ 2 + yx = 7} o bien S1 = {(x; y)/ = 2xy + 7} 

Para obtener algunos de estos pares que son solución de la ecuación planteada, se dan valores a x y se determinan los correspondientes para y , utilizando la expresión 

                                                                         y = 2x + 7 .

 Por ejemplo: si x = 1, y = 5 . 

(1,5) es una de las soluciones de la ecuación, ya que 2 1+ 5 = 7 . 

También son soluciones: (0,7) , (2,3), K La representación gráfica de la ecuación 2x + y = 7 es una recta. Los puntos que pertenecen a la recta verifican la ecuación y por lo tanto son las soluciones de la misma. 

 

Se desea determinar el valor de dos números reales x e y , que verifican simultáneamente las siguientes condiciones:

•      “el doble del número x , más el número y , es igual a 7 ”
•      “la diferencia entre x e y es igual a 2 ”

Las condiciones planteadas pueden expresarse algebraicamente del siguiente modo:

 

 Han resultado dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.

 Estas ecuaciones deben satisfacerse simultáneamente, por eso se dice que forman un sistema de ecuaciones lineales. 

Se observa que cada una de las ecuaciones del sistema se representa gráficamente mediante una recta. Es importante tener en cuenta que:                 

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas significa hallar, si es que existen, todos los pares ( y, x ) que satisfacen ambas ecuaciones simultáneamente. 

 

Método de igualación  

El método de igualación consiste en realizar los siguientes pasos:

• Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
•  Se igualan las expresiones despejadas y se obtiene una ecuación lineal para la otra incógnita.
• Se resuelve la ecuación lineal.
• Se sustituye este valor en cualquiera de las dos expresiones despejadas a fin de obtener el valor de la otra
• Se realiza la comprobación.

Ejemplo#1

Solución:

•  De la primera ecuación se despeja x 

• de la segunda ecuación también se despeja x

• Se igualan estas dos últimas ecuaciones
  
• Resolviendo para y :  
  

• Sustituyendo en la primera ecuación despejada, se obtiene el valor de la otra incógnita:

Por lo tanto: x = 3 y y = 1 . Comprobación:

MÉTODO DE SUSTITUCIÓN

El método de sustitución consiste en efectuar los siguientes pasos:

• Despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones.
•  Sustituir la expresión despejada en la otra ecuación.
• Se resuelve la ecuación lineal, generalmente fraccionaria.
•  Se sustituye este valor en la expresión despeja a fin de obtener el valor de la otra.
• Se realiza la comprobación.

Ejemplo#2

• De la primera ecuación se despeja x :

• se sustituye en la segunda ecuación:

• 
  
  
  
  
• sustituyendo en la ecuación despejada:
  
  
  

Por lo tanto: x = −5 y y = 4 . Comprobación: 

Método de reducción

Este método consiste en: 

•  Multiplicar cada ecuación del sistema por un número no nulo, de modo que los coeficientes de una de las incógnitas sean iguales en las dos ecuaciones. 
•  Luego, se restan las ecuaciones obtenidas para eliminar esa incógnita y poder despejar la otra. 

Ejemplo#3

• Se puede observar que si no se modifica la primera ecuación y se multiplica por 2 la segunda, se igualan los coeficientes correspondientes a la incógnita x . Se obtiene un sistema equivalente al original que resulta: 

• Se restan miembro a miembro las dos ecuaciones que forman el sistema. 

•  Se resuelve la ecuación que quedó. 

•  Se sustituye el valor de y en alguna de las ecuaciones originales y se despeja la otra incógnita.

• Otra forma de resolver el sistema de ecuaciones de este ejemplo es eliminando la variable y , para lo cual en este caso se suman miembro a miembro las dos ecuaciones que forman el sistema: 

• entonses ;

• Reemplazando en x - y = 2 , resulta: